Derivator och tillämpningar

[Ducimus]

hej hej!
Jag behöver hjälp med tre tal. Mycket tacksam för hjälp!

1. Kurvan

y=ax^2+bx+c

tangerar linjen y=x i origo. Den går också genom punkten (1,4). Bestäm talen a, b, och c.

2. En cylinderformad konservburk av plåt rymmer 1000 cm^3. Bestäm höjd och diameter så att materialåtgången blir så liten som möjligt.

3. Ange en exponentialfunktion

y=Ca^x

sådan att y(0)=3 och y'-5y=0.


Som sagt, är väldigt tacksam för all hjälp!

[Morfar B]

Se bilaga.

[Morfar B]

Uppgift 2.

[infinity]

Uppgift 3:

Vi börjar med att beräkna konstanten C med hjälp av ett av villkoren:

y(0)=C=3

\therefore \: \: y=3a^{x}

Sedan kan vi använda det andra villkoret för att bestämma kostanten a:

{y}'=\frac{d}{dx}\left (3a^{x}  \right )=3\ln(a)\cdot a^x

{y}'-5y=0\; \; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; \; 3\ln(a)\cdot a^x-5\cdot 3a^x=0\; \; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; \; 3a^x\left (\ln(a)-5  \right )=0

\ln(a)-5=0\; \; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; \; \ln(a)=5\; \; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; \; a=e^{5}

En exponentialfunktion som uppfyller dessa villkor är således:

y=3e^{5x}