punkt i koordinanten

[lama]

hej
hur jg kan hitta punkt i koordinatnten,
t.ex jg har dn fråga och jg har försöket flera gångar mn jg har inte kommit fram till rett svar.

Normalen till kurvan y=2x^2−7x+1 i punkten (2−5) skär även kurvan i en
annan punkt. Bestäm koordinaterna för denna andra skärningspunkt

[markir]

Hejsan lama!
Först måste vi definiera vad en normal är:

Vi har funktionen

y=2x^{2}-7x+1

och punkten (2, -5). Jag kontrollerar om punkten ligger på linjen: y (2) = 2*2^2 - 7*2 + 1 = 8 - 14 + 1 = -5
y(2) = -5, alltså punkten ligger på linjen. Bra! Annars räknar man inte vidare.

Om man drar en tangent till kurvan i punkten (2, -5) då blir lutningen till tangenten samma som y'(2).
y' = 4x - 7 alltså y'(2) = 4*2 - 7 = 1
Normalen är den linje som är dragen genom punkten (2, -5) och är rätvinklig mot tangenten.
Om vi kallar tangens lutning för k, då blir normalens lutning -1/k. Se formelbladet, där står så här:

k_{1}*k_{2}= -1

I vårt fall blir nornalens lutning -1/1 = -1

Vi kan nu bestämma normalens ekvation med hjälp av punkten (2, -5) och k = -1. Det blir y = -x -3.

Nu återstår att bestämma skärningspunkterna mellan kurvan och linjen, alltså man ska lösa ekvationssystemet
y=2x^2-7x+1
y = -x -3

Detta ekvationssystem ger -x -3 = 2x^2-7x+1 eftersom i båda två ekvationerna är vänstersidorna lika. (lika med y)
Vi får andragradsekvationen x^2 -3x +2 = 0 vilken ekvation har lösningarna 2 och 1.

Den första lösningen ger punkten (2, -5), den punkt som var given från början och den andra lösningen ger punkten (1, -4)
eftersom y(1) = -1 -3 = -4

Svaret är alltså att den andra skärningspunkten är (1, -4).

Vi kan kontrollera om denna punkt ligger på kurvan också: y(1) = 2* 1^2 -7*1 + 1 = 2 -7 +1 = -4 (det stämmer)

H, Margit

[infinity]

Hej lama. Jag vet inte om du har upptäckt att jag har besvarat en liknande fråga i en av dina äldre trådar: http://www.matteguiden.se/forum/viewtopic.php?f=5&t=549. Annars har markir givit dig en utmärkt lösning .

[markir]

Hmm--- utmärkt lösning.... hmmm
bortsett från att grafen till funktionen

y=2x^{2}-7x+1

kallade jag för linje. Den är förstås en kurva (en parabel). Förlåt!
H, Margit