Det stora bråket mellan pi och tau
Kort historik om π (pi)
π, den grekiska bokstaven pi, är ett tal som ofta får mycket uppmärksamhet för alla dess egenskaper. Vi bestämmer π genom att dividera en cirkels omkrets med dess diameter:
π = o/d
π har oändligt många decimaler men de första 100 ser ut så här
π ≈ 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164 062862089986280348253421170679…
π kallas Arkimedes konstant eftersom Arkimedes (född 287 f.Kr.) var den första som lyckades visa att det är samma tal π som vi använder för att beräkna en cirkels area och dess omkrets. Dessutom visade Arkimedes genom geometriska beräkningar med polygoner upp till 96 hörn att talet π måste ligga mellan bråken 223/71 och 22/7 alltså:
223/71 < π < 22/7
Skriver vi det som decimaltal blir det 3,1408…< π < 3,1428… vilket är rätt avrundat till de första två decimalerna.
Men vad är det med π som gör det så speciellt?
π är ett irrationellt tal. Det betyder att π inte är rationellt och således inte kan uttryckas som en kvot av två heltal. π ≠ a/b (där a och b är heltal)
π är ett transcendent tal. Det betyder att π inte kan uttryckas algebraiskt, det vill säga som en rot till ett polynom med rationella koefficienter.
Tittar vi även på decimalutvecklingen av π uppvisar den inte någon regelbundenhet, trots att decimalutvecklingen fortsätter i oändligheten!
De första 50 decimalerna räcker för att beräkna det synliga universums omkrets...50 decimaler av något är galet mycket, men inte i närheten av oändligt mycket.
Nu när vi vet några egenskaper kring talet, hur får vi egentligen fram π? Ett sätt är att kolla på relationen mellan cirkeln omkrets och dess diameter. Två andra praktiska sätt är genom gränsvärden eller oändliga summor som approximerar π.
Men du kanske fortfarande undrar vad som gör π så speciellt?
Ett enkelt svar är att π dyker upp i så många områden inom matematiken! I vissa fall är det till synes utan koppling till talets geometriska ursprung. Bara för att nämna några få områden så har π hittats i geometriska samband, i sannolikheten att en nål landar på en linje, i integraler, i Eulers identitet och i ändliga serier.
Varför skulle vi inte vara intresserade och fascinerade av π, när det ständigt dyker upp överallt inom matematiken?
Men vad är då τ och vad har det med π att göra?
På senare år har det blivit en debatt inom matematiken om π verkligen är det bästa och mest fascinerande talet som dyker upp inom matematiken.
Motståndare till π hävdar att den bättre konstanten är τ, grekiska bokstaven tau, som definieras av:
τ = 2π
Men vad har det för betydelse? τ är ju relaterat till π och skulle det verkligen göra någon skillnad att byta π mot τ? Ja, vissa hävdar det!
Det som påstås är inte att π är fel aritmetiskt, utan snarare förvirrande, opraktiskt och inte faller ut lika estetiskt fint i formler som τ gör.
Två exempel som motståndare brukar lyfta:
Den rätta cirkelns konstant:
För att få π delar vi omkretsen med diametern. Om vi istället delar omkretsen med radien får vi τ!
Detta anses vara mer korrekt då definitionen av en cirkel använder sig av radien, varför ska inte cirkelns konstant då också härstamma från radien? Ett argument som motståndarna ger är att det är förvirrande och onödigt att byta ut radien mot diametern, då det inte finns någon fördel att göra det.
Det "bättre sättet" att räkna radianer:
Motståndare till π säger att τ är bättre utifrån ett pedagogiskt perspektiv när vi börjar lära oss vinklar i radianer.
Om vi använder π så är en cirkel 2π radianer, men om vi använder τ är cirkeln τ radianer. τ gör det alltså enklare att förstå vinklars storlek och hur många varv vi går på en cirkel. Har vi till exempel 2τ - då ser vi direkt att vi gått 2 varv. Motsvarande om vi har 4π, då måste vi komma ihåg att vi behöver dela med 2 för att veta att vi gått 2 varv.
Det finns fler exempel som argumenterar om varför τ skulle vara den bättre konstanten och varför vi således bör byta ut talet π mot τ.
Vi på Mattecentrum anser inte att det ena är bättre än det andra, vi tycker båda talen är lika fascinerande. Båda har sina fördelar och nackdelar.
Men... om du känner att du är en τ-person, så uppmuntrar vi dig att fira τ-dagen som infaller den 28 juni. Håller du fast vid att π är det rätta talet så firar du π-dagen den 14 mars.
Vi firar båda dagarna!
På matteboken.se hittar du räkneuppgifter med pi: